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考研初数容斥问题经典例题及答案

发布日期:2022-08-05 13:27:41  来源:四川中公考研

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1.某班期末考试结束,统计优秀成绩的人数,数学优秀的有人,语文优秀的有人,英语优秀的人数有人,数学、英语两科都是优秀的有人,数学、语文都是优秀的有人,语文、英语都是优秀的有人,三科都没得优秀成绩的有人,这个班最多有多少人?(  )
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
【答案】C
【知识点】容斥问题
【解析】
由题意可设语数英都优秀的有人,则只有数学和英语优秀有人,只有英语和语文优秀的有人,只有数学和语文优秀的有人,则可得这个班级的人数为:,又因为是三个集合的交集,所以最大的值只能为7,故人数最多为人。故本题选择C。
2.在一堂物理课上,老师出了、、三道题,至少做对一道的有人,其中做对题的有人,做对题的有人,做对题的有人,三道题都做对的只有人,只做对两道题的有多少人?(   ).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
【答案】B
【知识点】容斥问题
【解析】
根据题意可知,至少做对一道题有人可以理解为只有人是回答对了题目的,由题意可设只做对两道题的有人,则通过三者容斥公式可得:,解得。故本题选择B。
3. 甲、乙、丙、丁四人一起参加一次数学考试,已知考试总共有80道题,且甲做对了69道题,乙做对了65道,丙做对了71道,丁做对了59道,问甲、乙、丙丁四人都做对的题目至少有多少道?(   ).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
【答案】D
【知识点】容斥极值问题
【解析】
由题意可知,根据容斥极值公式,甲、乙、丙、丁四人都做对的题目至少有:。故本题选择D。
4.经统计发现,某班级既喜欢英语又喜欢数学有人,既喜欢英语又喜欢语文的有人,既喜欢数学又喜欢语文有人,则该班级至少有45人.
()该班级有位同学喜欢数学,位同学喜欢英语,位同学喜欢语文
()该班级有位同学喜欢数学,位同学喜欢英语,位同学喜欢语文
【答案】D
【知识点】容斥问题
【解析】
根据题意可设语文、数学、英语都喜欢的有人,则有:
条件(1):则可知只喜欢数学和英语的有人,只喜欢数学和语文的有人,只喜欢语文和英语的有人,则三个集合的并集为:
,要使班级人数最少,则,,故充分。
条件(2):对比条件(1)同理可得:,要是班级人数最少,则,,故充分。所以本题选择答案D。
5.某班进行期末考试,学校评定分以上的为优秀,语文优秀的有人,数学优秀的有人,则两科都不是优秀的有人.
()该班有人
(2)两科都是优秀的有人
【答案】C
【知识点】容斥问题
【解析】
条件(1):无法求出至少一科优秀的人数,缺乏条件,故不充分;
条件(2):不知道班级具体人数,缺乏条件,故不充分;
条件(1)和条件(2)联合:两科至少有一科优秀的人数为:,又因为班级总人数为人,所以两科都不优秀的人数为:,所以充分,故选择答案C.
点击查看每日一练:容斥问题完整版
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