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方法讲解:不同元素分组问题

发布日期:2022-08-05 13:24:08  来源:四川中公考研

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计数原理模块在过去几年的考试中会出现2—3个题目,而不同元素分组问题往往就会占据一个名额,所以对于不同元素分组问题,各位同学们势必要琢磨清楚,拿下对应分值。
一、定义
将个不同元素按照某些条件分成组,称为不同元素分组问题。该分组问题有不均匀分组、均匀分组和部分均匀分组三种情况。将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象,称为分配问题。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是可以不区分的;而后者即使两组元素个数相同,但因分给的对象不同,仍然是可区分的,对于分配问题需遵循先分组后分配的原则。
二、求解方法
关于不同元素分组问题,主要考察两类:只分组问题和先分组后分配问题。
   (1)不均匀分组问题
将不同元素分成若干组,若各组内元素数均不相同,则采用逐组挑选法(按比例分完再用乘法原理))。
如:6本不同的书,按照1:2:3分成三堆,有种分法。
(2)均匀分组问题
将不同元素分成若干组,若有个组内元素数量相同,则在逐组挑选法基础上除以,消除重复。
如:6本不同的书,
①按照1:1:1分成三堆,有种分法
②按照1:1:4分成三堆,有种分法
(3)先分组后分配
如:6本不同的书,
①按照1:2:3分给甲、乙、丙三人,甲得1本,乙得2本,丙得3本,有种分法。(分配对象确定,无需排序)
②按照1:2:3分给甲、乙、丙三人,其中一人一本,一人两本,一人三本,有种分法。(分配对象不确定,需要排序)。
三、练习
【例1】(2000.10)三位教师分配到6个班级任教,若其中一人教一个班、一人教两个班、一人教三个班,则共有分配方法(   )种.
(A)        (B)        (C)       (D) 
【答案】B
【解析】
根据题意,将6个班级按照1:2:3分成三堆(不均匀分组),再分配给三位教师(先分组后排列),则共有种分法。故本题选择B。
【例2】(2017.12)将张不同的卡片张一组分别装入甲、乙、丙个袋中,若指定的张卡片要在同一组,则不同的装法有(   ).
(A)种    (B)种      (C)种       (D)种       (E)种
【答案】B
【解析】
根据题意可知该题为不同元素的分组问题,采用逐组挑选法进行求解,两张指定卡片在同一组,剩余四张进行均匀分组得,再将三组卡片分配给甲、乙、丙个袋,则共有种不同的装法。故本题选择B。
【例3】有5本不同的书全部分给3人,每人至少一本,有(   )种分法.
(A)150种    (B)180种     (C)240种     (D)280种     (E)360种
【答案】A
【解析】
根据题意,5本不同的书分给3人,每人至少一本,可以是按照1:1:3或1:2:2进行分组,则有种分法。故本题选择A。
四、总结
    关于不同元素分组问题,各位同学在做题的过程中,一方面要注意是否为均匀分组(若是,则要除以数量相同的组数阶乘进行消序),另一方面还得审好题目,是否要进行分配(若需要分配,则要利用乘法原理排序)。
点击查看完整版:方法讲解:不同元素分组问题
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