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每日一练--均值不等式

发布日期：2021-10-29 15:58:44 来源：

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每日一练--均值不等式
十月份了，对于2022考研学子而言，目前考试时间逐级逼近，那我们今天就学习一下，初数考试过程中考频偏多的一个知识点-均值不等式。均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：即多个数的算数平均数不超过几何平均数。两个数的公式内容为，三个数的公示内容为。
均值不等式的核心考点为求最值和证明题。求最值核心就是凑和为定值或者积为定值。证明题核心就是看是否需要给出的数值是否需要取正数的条件。
核心公式有以下几个：
（1）对于正实数，，。
（2）对于负实数，。
（3）对于实数，。
（4）对于正实数，。
（5）对于正实数，。
（6）对于实数，。
求最值
【例1】设函数在内的最小值为，则（   ）.
（A）（B）     （C）（D）     （E）
【答案】D
【解析】根据题意已知，，所以。当且仅当时取等，时，即，所以。故本题选择D。
【例2】设点和，在线段上取一点，则以为两边长的矩形面积最大值为（   ）.
（A）       （B）        （C）        （D）         （E）
【答案】B
【解析】根据题意已知，AB的直线方程为，已知，由均值不等式得，即矩形面积的最大值为，故本题选择B。
【例3】已知，则函数以的最小值为（   ）。
（A）（B）     （C）（D）     （E）
【答案】D
【解析】根据题意已知，。故本题选择D。
【例4】已知的圆心过直线，则的最小值为（ D ）.
（A）       （B）        （C）        （D）         （E）
【答案】A
【解析】根据题意已知，圆可以化成标准形式为，圆心为，代入直线可得。根据均值不等式，故本题选择A

证明题
【例5】.
（1）
（2），，为不全相等的正数
【答案】B
【解析】根据题意已知，若，，为正数，，，，根据不等式的同向可加性，，即，又因为，，为不全相等的正数，取不到等号。
条件（1）不能转化成结论的非空子集，所以不充分。
条件（2）能转化成结论的非空子集，所以充分。故本题选择B。
【例6】设、为实数，且，则能确定的最小值.
（1）
（2）
【答案】D
【解析】根据题意已知
条件（1）：，根据一元二次函数的性质，当时，题干有最小值，所以条件（1）充分。
条件（2）：，当且仅当时，有最小值。所以条件（2）充分。故本题选择D。
【例7】设、为实数，则能确定的最小值.
（1）
（2）
【答案】D
【解析】根据题意已知
条件（1）：由题意可知，、必为正数，，。所以条件（1）充分。
条件（2）：由题意可知，所以条件（2）充分。故本题选择D。

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