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一般数列解题方法汇总

发布日期：2021-10-29 15:57:50 来源：

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一般数列解题方法汇总
今天老师遇到一位同学问了我一个很有意思的问题，
老师，麻烦你帮我看看这道题，
设数列满足，，则（   ）.
我知道他是数列题，但是它既不是等差数列，也不是等比数列，还要让我求第100项是多少，我都蒙圈了，不知道该用什么公式。
相信同学们看到这个问题也会深有同感，看着似曾相识，但是却好像又差了一点东西，脑子里乱哄哄的，理不清思路。
那么老师今天就带大家分析一下这类题目，帮助大家巩固一下关于一般数列的识别以及计算。
一知识梳理

二考点精讲
【题型1】已知递推公式，求通项公式
※待定系数法（，，）
【例1】（2018.12）设数列满足，，则（   ）.
（A）     （B）      （C）    （D）     （E）
解析：原式整理可得，观察可得，如果左右两边同时加上可得，即，即以为首项，以为公比的等比数列，所以可得，即，则有。故本题选择A。
总结：已知，，时，求，原式两边同时加上一个数可得一个新数列，即。

※累加法（，）
【例2】数列中，，，则（   ）.
（A）      （B）      （C）     （D）      （E）
解析：根据题意，可得，左右各自相加为，整理为，可得，则。故本题选择B。
总结：已知，，求，利用前后两项相加可消项整理即可。

※累乘法（，）
【例3】已知数列中，，，则（   ）.
（A）     （B）      （C）     （D）    （E）
解析：根据题意，可得，则有，左右各自相乘为，整理为，可得，则。故本题选择B。
总结：已知，，求，利用前后两项相乘可消项整理即可。

【题型2】已知求和公式，求通项公式
※核心公式：（）
【例4】（2003.10）数列前项和为，则它的通项公式是（   ）.
（A）            （B）      （C）
（D）     （E）以上选项均不正确
解析：根据题意，可得，则，整理可得，则有，又由于，所以。故本题选择C。
总结：已知求，利用进行计算，最后记得验证即可。

【题型3】已知通项公式，求求和公式
※倒序相加法
【例5】已知数列为公比不为的等比数列，且，若，则（   ）.
（A）     （B）     （C）     （D）    （E）
解析：根据，整理可得，即，所以
同理可得，则有，左右相加可得，则有。故本题选择B。
总结：如果数列首尾两项之和为定值，则通过倒序相加法即可求和

※错位相减法
【例6】设数列的通项，的通项，若，则数列的前项和为（   ）.
（A）                  （B）         （C）
（D）         （E）以上选项均不正确
解析：根据题意，可知，则有
①，再乘以，可得②，可得
，整理则有。故本题选择D。
总结：遇到数列中有等比关系时，通过乘以公比再错位相减即可求和。

※裂项相消法
（1）
（2）
【例7】已知数列，则数列的前项和（   ）.
（A）    （B）    （C）    （D）   （E）
解析：根据题意，可知数列，所以前项和。故本题选择A。
总结：遇到数列中分母可以拆分时，通过裂项相消即可求和。

【例8】数列的通项公式为，前项和为，则（   ）.
（A）    （B）    （C）    （D）    （E）
解析：根据题意，可知数列，所以，则有。故本题选择E。
总结：遇到数列中分母含有根号时，可以通过裂项相消即可求和。
好了，同学们，今天的小课堂到此就结束了。
由于今天的内容比较多，并且题目比较灵活多变，希望大家做好复习工作，把老师讲的例题好好复盘，仔细揣摩，研究不同题型的做题思路和方法加以巩固。
但是实际考试中题目还是灵活多变的，那么在后续的学习中，还要多加练习和总结，重点是准确识别题目的要求，根据要求进行计算即可。
最后，中公考研初数研究院预祝广大考生考研顺利！

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【责任编辑：樊孝阳】

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