浅谈五线四心

发布日期：2021-10-28 15:57:54 来源：

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浅谈五线四心
平面几何知识体系，在管理类联考数学中占据了一定的比例是每年重要考查题型。平面几何考察的知识点主要有：三角形、四边形、圆与扇形。
其中，三角形是比较关键的一种图形，有棱有角的几何图形都可以由三角形构成，所以三角形是我们学习平面几何知识的基础，考察的频率也最高。我们今天就来说说三角形非常特殊的性质：五线四心
1.角平分线及内心：三角形三个内角平分线的交点，称为三角形的内心（内切圆的圆心）。角平分线把对边分成的两部分长度之比为另外两边长度之比，内心到三边的距离相等（过圆心I做三边的垂线即内切圆半径）。

2.中垂线及外心：三角形三条边的中垂线（垂直平分线）相交于一点，称为三角形的外心（外接圆的圆心）。外心，到三角形的三个顶点的距离相等（MA=MC=MB），也就是说三角形的三个顶点在三角形的外接圆上，外接圆的圆心就是三角形的外心。
三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的；但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.中线及重心：三角形的顶点及其对边中点的连线称为该对边的中线，三角形三边上的中线相交于一点，称为三角形的重心。重心分中线为长度为2：1的两段，并且将三角形分成六个面积完全相等的小三角形（或者三个面积完全相等的大三角形△AMB=△AMC=△BMC）。

4.垂线及垂心：从三角形的顶点向其对边或对边的延长线作垂线段，称为该对边上的高（也称垂线）。三角形三边上的高或它们的延长线相交于一点，称为三角形的垂心。垂心（高线的交点）。

5. 中位线：三角形两条边中点的连线段称为第三边对应的中位线。
五线四心代表了三角形的一些独特的特点，除了上述特征，还有一些有趣的知识，如欧拉线：即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
接下来我们尝试着做几道例题体会一下三角形的五线四心。
例题：如图所示，D、E是ABC中BC边的两个三等分点，F是AC的中点，AD与EF交于O，则OF：OE=（）
（A）1/2 （B）1/3 （C）2/3 （D）3/4 （E）4/5
答案：A
解析：连接AE，则O为△ACE的重心，EF为中线，重心分中线为长度为2：1的两段即OF:OE=1/2

例题：如图，G为△ABC的重心，现分别从A及G做垂线交BC于A’、G’，则AA’: GG’=( )
（A）2/1 （B）3/1 （C）3/2 （D）4/3 （E）5/4

答案：B
解析：因为G为三角形的重心，根据性质可得△BGC=1/3△ABC，又因这两个三角形底相同则其面积比就等于高之比，所以AA’:GG’=3/1.
熟练掌握三角形的五线四心，将使我们可以快速地了解三角形的相关知识，有助于提升我们的平面几何知识，为我们的管理类联考数学考试助力不少。

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【责任编辑：樊孝阳】

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