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韦达定理的是与非

发布日期：2021-10-28 15:59:58 来源：

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韦达定理的是与非
管理类联考综合数学部分的韦达定理是一元二次方程中大家所熟悉的一种常见类型，可称得上灵活二字。而此类问题方法着重点在于将所求形式转化为两根和与两根积表示。为了帮助大家理解，小编带着大家先来追溯韦达定理的由来和证明过程呐~
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
设一元二次方程，两根有如下关系：

证明的方式有多种，小编向大家提供两种方式作为参考哈，证明过程如下：
法一：由一元二次方程求根公式知：，则有，。
法二：将一元二次一般式化为两点式，
，利用代数式相等可得对应项系数，即。
作为需要灵活考察的公式之一，而常考得形式主要有三点：
其一，求解代数式（由组成）的值或范围；
其二，求解方程中参数的值；
其三，逆运用。
接下来我们一起以具体题目进行分析韦达定理相关的问题，看透本质并快速解题。

1.（2014.12）已知是方程的两个实根，则（   ）.
（A）     （B）     （C）     （D）     （E）
【答案】A
【知识点】韦达定理求代数式值。
【解析】
根据题意可知，利用韦达定理得，。。故本题选择A。
※相较于其它题目该题属于基础常规题目，利用韦达直接得到对应值即可。

2.（2008）的最小值是.
（1）是方程的两个实根
（2）
【答案】D
【知识点】均值不等式、韦达定理求代数式范围。
【解析】
条件（1）：根据韦达定理可知，，，又方程有两个实根则，即当，取最小值，所以条件（1）充分；
条件（2）：根据均值不等式可知，当且仅当时，的最小值是，所以条件（2）充分。故本题选择D。
※该题明显比单纯求代数式的值要复杂一些，需要通过判别式范围确定参数的范围。
3.（2002）设方程的两个实根和满足，则的值为（   ）.
（A）          （B）          （C）          （D）
【答案】B
【知识点】韦达定理求参数值。
【解析】
根据韦达定理可知，则，解得。故本题选择B。※注意：当求得参数值有多个时，需要考虑判别式的范围进行取舍。
4. 已知，则和值分别为（   ）.
（A）    （B）    （C）     （D）   （E）
【答案】C
【知识点】韦达定理的逆运用。
【解析】
根据题意，利用韦达定理可构造和是方程的两根，而该方程通过十字相乘可得，两根分别为，即为所求。
※该题亦可以建立方程组求解，而利用逆运用更加间接快速求解。另附逆运用的原理如下：
如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根。通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
通过上述相关试题的设置与分析，从中我们能够清晰地看到隐藏在韦达定理的一些形异而质同的问题求解本质始终构造两根和与积。其中合理地转化与化归是问题处理的关键，也是难点。问题的本质依然是根据题目条件学会如何构造并最终化为和与积的形式，从而破题。

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