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空间解析几何知识点

发布日期：2021-10-28 15:04:04 来源：

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一、曲面方程的计算
空间解析几何是多元函数微积分的基础，这一部分直接出题比较少，一般结合其它章节，在考试中处于从属地位，但考生切忌轻视本章，本章知识的缺陷将会直接影响整个多元函数微积分的复习。此次主要给大家简单介绍一下关于曲线方程计算的问题。
（一）旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
常见旋转曲面求法
（1）设L是平面上平面上一条曲线，其方程为: ，将L绕z轴旋转得到的旋转曲面方程为
（2）由参数方程绕轴旋转得到的旋转曲面方程为:,其中存在单值得反函数，为的值域。
注：求旋转曲面方程的关键是把握住变化中的不变量，以绕轴为例，此时的不变量有两个：一是坐标不变；二是曲线上的点到轴的距离不变，也即不变。
（二）柱面
定义：设是一条空间曲线，是一条直线，直线沿移动得到的曲面叫柱面，其中称为柱面的准线，称为柱面的母线。
常见柱面求法
若准线方程是，如果母线平行于轴，则柱面方程为，如果母线方向为，则柱面方程为。
若准线方程是，如果母线方向为，则先在准线上任取一点，则过点的母线方程为，其中为母线上任意一点的活动坐标，消去方程组中的就可以得到所需的柱面方程。
注：求柱面方程关键是把握不变的量，任意一点移动的向量均为母线的方向向量，即，再将代入准线方程。
（三）投影
定义：经过空间曲线的每一点都有平面π的一条垂线，所有这些垂线构成一个柱面，称为到平面π的投影柱面，投影柱面与平面π的交线称为到平面π的投影曲线。
投影曲线的求法
求出通过空间曲线且垂直于平面π的投影柱面方程，则投影曲线方程为。
空间曲线在坐标平面上投影曲线的求法：
（1）在方程组中消去，得到一个母线平行于轴的柱面；
（2）将与=0联立，得到投影曲线方程。
用同样方法可求在坐标面上的投影曲线。
【例1】（2009—1）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是由过点，且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。
（1）求及的方程；
（2）求与之间的立体体积。
【解析】（1）椭球面的方程为，设切点为，则在处的切线方程为，将代入切线方程得，从而，所以切线方程为，从而圆锥面的方程为
（2）与之间的立体体积等于一个底面半径为，高为的锥体体积，与部分椭圆球体积之差,其中，故所求体积为。
二、空间曲面的切平面与法线
曲面在曲面上一点处的法向量为，由几何意义可知该向量是切平面的法向量，也是法线的方向向量，再由切平面和法线都要过可以得到它们的方程分别为：
与
【例2】（2013-1）曲面在点处的切平面方程为（）
【解析】由曲面，可知在点的法向量为，故切平面的方程为即，故选

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