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特征值与特征向量

发布日期：2021-10-28 15:02:52 来源：

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线性代数在考研数学中的分值为32分左右。特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型这三章的内容就占十分以上，他们是我们强化阶段学习的重点、难点、且考查频率高。而在这三部分内容当中，特征值和特征向量又是其他两部分内容的基础，后面的计算当中大都要先求特征值特征向量，它的重要性不言而喻。该要点的考查多数以小题为主，除此之外，它更是其他考试要点的基础，考生务必掌握学习好这部分内容：
首先我们要知道什么是特征值和特征向量：
定义：设A为n阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n维的非零列向量α，使得关系式Aα=λα成立，则称λ是矩阵A的特征值，α是属于特征值λ的特征向量。
当然，在我们了解特征值和特征向量的概念之后，还是有一些需要注意的点需要我们掌握：
注：（1）α≠0；分析：若α为零向量，等式恒成立，无意义。
我们现在知道了特征值和特征向量的概念了，概念中有特征值λ和特征向量α两个未知量，他们的计算又是我们学习的重点，那怎么计算呢？我们可以从定义中的等式入手：
Aα=λα
变形：Aα-λα=0
=>(A-λE)α=0
=>α是(A-λE)X=0的解
又因为α≠0，故(A-λE)X=0有非零解
<=> |A-λE|=0
同样的
若已知 |A-λE|=0
=> 存在α是(A-λE)X=0的解
=>(A-λE)α=0
=> Aα=λα
故我们可以总结出特征值特征向量的求解方法（充要条件），就是我们第二点要注意的内容。
（2）λ为A的特征值<=>|λE-A|=0或|A-λE|=0；
α为A属于特征值λ的特征向量：(A-λE)X=0有非零解；
（3）对n阶矩阵来说，|λE-A|为λ的n次多项式，
|λE-A|=0解得λ有n个解，既A有n个特征值。
下面我们通过例题具体的来看一下我们的特征值和特征向量应该如何来求解
例：求矩阵A= 的特征值和特征向量。
分析：对于数值型矩阵求特征值:|λE-A|=0或|A-λE|=0；
求特征向量：(A-λE)X=0有非零解；
解：
特征值：|A-λE|== (2-λ)(-1)3+3
=(2-λ)(λ2-2λ+1)=(2-λ)(λ-1)2=0
解得特征值为 2,1,1；
特征向量：
当λ=2时，由(A-2E)X=0得
(A-2E)=
解得：α1=k1 ，k1≠0;
当λ=1时，由(A-E)X=0得
（A-E）=
解得：α2=k2 ，k2≠0;
故矩阵A的特征值为2,1,1；特征值2对应的特征向量为k1 ，k1≠0；特征值1对应的特征向量为k2 ，k2≠0。

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【责任编辑：樊孝阳】

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