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三重积分的计算

发布日期：2021-10-28 15:01:34 来源：

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对于数学一的考生来说，三重积分是一个非常重要的考试要点，考研对学生的要求是熟练掌握三重积分的计算，本文章对其计算方法做详细的介绍。
一、“先一后二”法求三重积分
以轴为例，沿轴方向自下而上画一条直线，找到该直线与积分区域的上下两个交点，设这两个交点在方向的坐标分别为和，则它们分别为积分变量的上下限；然后再找出积分区域在平面上的投影，即三重积分可表示为:
【例1】计算，其中。
解：
二、“先二后一”法求三重积分
以轴为例，作一个垂直于轴的平面，找到该平面与积分区域截面在平面上的投影，则计算二重积分时的积分区域即为；再确定的上下限，即可。此时三重积分可表示.
【例2】计算其中是由平面与三坐标平面所围成；
解：
【注】（1）一般来说，当积分区域是由旋转曲面围成或是被积函数为或考虑使用“先二后一”。
（2）使用“先二后一”法的关键是确定第一步二重积分的积分区域，方法是作一个与轴垂直的平面，找出该平面在积分区域上的截面。
三、利用球面坐标系计算三重积分
球面坐标通过三个变量来确定三维空间中的点。其中为点到原点的距离，；将平面部分的半平面逆时针旋转，当旋转到经过该点时，所转过的角度即为，将该点与原点连接，该连线与轴正半轴的夹角即为。它与直角坐标系的转换公式为。
三重积分球面坐标转换公式：。
【例3】计算，其中由，所围成。
解：令则原式为：
【注】球面坐标定限的一般方法：
（1）画一条从原点出发的射线，使其穿过积分区域，找出积分区域和该射线相交的部分（结合图像）。在相交的这一段上，找出的最大值和最小值，即为的积分上下限。
（2）和的积分上下限，就是使得该射线与积分区域相交的取值范围；考试对三重积分的计算要求并不高，了解简单的计算方法即可。
四、利用对称性简化三重积分
（1）奇偶性：假设积分区域关于坐标平面对称，则。
其中为积分区域位于坐标平面上方区域。
（2）轮换对称性：假设积分区域关于平面对称，则。
【例4】求，其中。
解：积分区域关于平面和平面对称，由奇偶性知；
则原式变成
【注】当积分区域关于某一个坐标平面对称时，要优先考虑借助函数的奇偶性化简积分。

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【责任编辑：樊孝阳】

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