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如何理解秩在线性代数中的作用

发布日期：2021-10-28 15:00:38 来源：

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相信各位同学在初学线性代数这门学科的时候，有一种难以名状的错乱感觉，感觉学完一遍之后脑袋和浆糊一样，对线代的知识点剪不断理还乱。可以负责任的告诉大家，这种感觉是一种很正常的现象，这也是线代这门学科的特点。
线代的知识点有这样的两个特点：
一是关系错综复杂，像一张蜘蛛网一样，各个节点之间都有着联系。比如我们线代的第一个知识点-行列式，大家会发现行列式会贯穿线代整本书，矩阵可以和行列式联系，向量的线性相关、无关可以与行列式结合，线性方程组的解有克拉默法则用到了行列式，包括线代最后的正定二次型的判断也与行列式有关，由此看来，线代的知识点之间的联系呈一种网状的结构，这必然会给大家理解造成很大的困扰；
二是线代的概念比较抽象，不容易理解。线代的概念和高数的概念有很大的不同，高数中的概念我们往往可以找到它们的几何意义或物理意义，这样便于我们去理解这个概念，比如导数可以理解为切线方程的斜率，二重积分可以理解为曲顶柱体体积的代数和等等。那么，反观线代呢？线代的概念有类似的背景吗？比如行列式的几何意义是什么？秩的几何或者物理意义是什么？是不是一时间竟无言以对？所以，线代的概念我们往往找不到实际的背景，这也会导致线代的概念不好理解，大家会感觉线代这门科比较难。
那么，大家认为线代中的哪个概念最不好理解呢？相信大部分同学的答案会是秩。秩这个知识点相当于线代的“脊梁”，它贯通着向量与线性方程组这两大块的内容，而向量与线性方程组构成了线代的基础框架，所以，理解了秩就相当于理解了线代。
所以，今天我们给大家简单谈谈秩在线代中的作用。
其实，秩在线代这本书中主要应用在两个地方：一是向量组的秩；二是线性方程组中矩阵的秩；这两个地方的所用到的秩我们都可以理解为有效信息量。
即秩=有效信息量。
那么，具体怎么去理解这个有效信息量呢？比如向量组的秩，向量组的秩指的是其极大线性无关组中向量的个数，那么这里的极大线性无关组就是有效信息，因为向量组中除极大线性无关组之外的向量，都可以由极大线性无关组去表示，那么这些可由极大线性无关组表示的向量就不属于有效信息，属于多余信息。
还有，对于线性方程组中矩阵的秩怎么去理解呢？线性方程组中矩阵的有效信息量指的是有效方程的个数，也即其他的方程都是可以由这些有效方程相加减得到。我们也可以这样去理解，我们在解一个线性方程组的时候，这个线性方程组是有“水分”的，我们把其中的“水分”攥掉，剩下来的“干货”就是这个线性方程组的有效方程。
今天先给大家分享到这，最后，祝大家都能考上自己理想的学校，加油！！！

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【责任编辑：樊孝阳】

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