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浅析计算带根号的被积函数易错题

发布日期：2021-10-28 14:59:07 来源：

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高等数学中积分的地位可以说是半壁江山，而积分的核心内容是要计算定积分，定积分的计算归根结底又是不定积分的计算，所以不定积分的计算是积分学部分的基石，有着不可撼动的地位，所以大家一定要熟练不定积分的计算。不定积分的运算是导数的逆运算，所以很多计算公式和计算法则都是从导数运算公式和运算法则而得来的，但是相较于导数运算，缺少复合函数运算，所以要解决复核函数运算需要用到换元法。换元法一般分为两种，第一类换元法又叫凑微分法，通过第一类换元法可以解决大多数复核函数运算内容，但是第一类换元存在的缺点是比较被动，当式子中存在根号的很难通过第一类换元法来进行计算，那么这时候要用到的就是第二类换元法。
第二换元法：设 x  (t ) 是单调，可导的函数，并且 (t)  0 ，设 f ( (t )) (t) 具有原函数G (t ) ，则  f ( x ) dx x   (t )  f ( (t )) (t ) dt  G (t )  G[ 1 ( x )]  C。
利用第二换元法进行根号的不定积分计算过程中易错题：
①　正确的换元。
我们知道计算这样的不定积分，是令整体根号为t，然后进行换元计算，但是如果遇到的不定积分的时候，如果把整个根号设为t的话，你就发现根号还是去不掉，所以当我们遇到根号里面带有二次的时候需要利用三角代还来进行计算。正确计算步骤如下：

令，则，带入原不定积分可得，
原式
②　正确代换。
我们在计算过程中，虽然不定积分是算出来了，但是最后忘了带回原来的变量，或着是代换过程中出现了错误，比如的计算。计算方法如下：
令，则，带入原不定积分可得，
原式
计算到这一步之后一定要记得代回x。代换过程中根据的关系式可以解决t的代换。关于sint的正确代换，我们比较推荐画一个三角形之后，根据关系式进行正确的代换。所以这道题代换后的结果为：。
总结带有根号的不定积分计算：
1.如果根号里面是一次函数，我们直接令根号整体为t。
2.如果根号里面是二次函数，我们利用三角代换进行计算，当然计算过程中要注意正确代换和正确代回。

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