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浅析二项分布与泊松分布的联系

发布日期：2021-10-28 14:56:50 来源：

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概率论与数理统计是考研数学考点的小学科，所占分值约30%。其中概率论主要研究的是各种概率模型即各种分布。二项分布和泊松分布作为离散型随机变量的两种重要分布向来是考研必备知识点。二项分布由于伯努利试验容易举例而较容易理解，泊松分布公式形式推导很复杂往往省略，就成了学生们理解的盲区。本文浅析二项分布与泊松分布的联系，明确了泊松分布是二项分布的极限形式并给出推导过程，希望对学生们的理解有所裨益。
我们首先来回顾一下这两种分布类型：
一、二项分布
进行重伯努利试验，每次试验中事件发生的概率,则事件在重伯努利试验中发生次的概率为
若随机变量的分布满足这种规律，称随机变量服从二项分布，记为
二、泊松分布
泊松分布适合描述单位时间内随机变量发生的次数。当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率或称密度随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布若随机变量的概率分布为
其中，则称随机变量服从泊松分布，记为
实际上，二项分布的概率本身是难以计算的，尤其是当较大时，组合的运算非常繁琐，所以需要一种近似计算的简便形式。接下来我们将推导说明泊松分布是二项分布的极限形式，从而帮助同学们理解泊松分布以及较大时泊松分布可作为二项分布近似计算的原理，从而让学生们对二者关联记忆。
设随机变量，并且设为常数，则有
证明如下：
对上式取极限，
由此，我们确认了泊松分布就是二项分布的极限。所以当较大，较小，且趋于常数时，可用泊松分布来近似计算二项分布，一般当，就可以使用这种方法。
通过浅析泊松分布和二项分布的关系，我们对泊松分布的实际意义有了更深层次的理解，并且深入理解了教材中泊松分布近似计算二项分布的原理。希望同学们在学习过程中广泛涉猎，深入思考，长此以往就能找到数学学习的乐趣。

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