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2023考研管综初数计数原理以及排列组合的定义

发布日期:2022-07-19 09:48:15  来源:四川中公考研

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作为试题中的常考点,以及其它变形题目的基石,所以对于原理部分的出题常见形式以及背后的逻辑思维方式一定要夯实基础,灵活应用。无论出题类型如何,本质是需要我们选择好切入的角度进行分类,优先选择分类讨论情况少的思考角度。为了更好地摸清题目,首先我们先一起复习一下计数原理以及排列组合的相关定义。
1.分类加法原理
完成一件事情有类方案,第类方案中有种不同的方法,第类方案有种不同的方法,,第类方案中有种不同的方法,则完成这件事情共种不同的方法。
2.分步乘法原理
完成一件事情需要个步骤,完成第个步骤有种不同的方法,完成第个步骤有种不同的方法,,完成第个步骤有种不同的方法,则完成这件事情共有种不同的方法。
3. 排列与排列
从个不同元素中取出个,按照一定次序排成一列,称为从个不同元素中取出个元素的一个排列。从个不同元素中取出()个元素的所有排列的个数,称为从个不同元素中取出个元素的排列数,记为。
4. 组合与组合数
从个不同元素中取出()个,构成一组(不考虑元素顺序),称为从个不同元素中取出个元素的一个组合。从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数,称为从个不同元素中取出个元素的组合数,记为。
简单回顾相关知识点后,我们再一起练习几道题加以巩固吧。
【例】2022年3月,我国多地爆发新冠肺炎,为加强疫情防控,某小区仅留东西两个大门让居民进出,现有保安人,各安排人到两大门执勤,因特殊缘故,保安甲、乙不安排在一处,则不同的安排方案有(   )钟.
(A)   (B)   (C)   (D)    (E)
【答案】E
【知识点】排列组合的综合应用
【解析】
根据题意甲、乙不安排在一处,则甲、乙在东西两门各一个,即,剩余四人的安排方式有东门,西门,从而可得不同的安排方案有 种。故本题选择E。
※例1本身不难,利用分步计数即可求解。
【例】用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(   ).
(A)   (B)   (C)  (D)    (E) 
【答案】C
【知识点】计数原理的综合应用
【解析】
根据题意可知,第一个格子必然涂黑色,设格子从左到右的编号分别为。则当号格子为黑色时,有种;当号为黑色,,且号为白色时:若号为黑色,则有种;若号为白色,则若号为黑色有种,此时共有种;当号为黑色,号为白色时,号必为黑色,若号为白色则有种,若号为黑色,则有种,故此时共有种;综上,共有种。故本题选择C。
※例2本题难度主要在于分类的情况较多,需要严格按照不重不漏进行操作。
【例3】某省高考实行3+3模式,即语文、数学、英语必选,物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三,今年高一的小明与小芳进行选科, 假若他们对六科没有偏好,则他们的选法有种.
(1)至少有两科相同
(2)至多一科相同
【答案】D
【知识点】排列组合的综合应用
【解析】
根据题意可得,对于每个人,在六科中选择三科的总情况数有。
条件(1):根据条件可知,至少两科相同有:两科相同即,三科相同即,从而可得共有种,与结论一致,所以条件(1)充分;条件(2):至多一科相同,则其反面为至少两科相同,故方法数为二人任选三科减去其对立面即种,与结论一致,所以条件(2)充分。故本题选择D。
※该题在求解时,可以正反两种方式均可,正难则反的思想在计数问题中经常使用。
【例4】从这个数字中任取两个,则可以得到不同对数值的个数为53种.
(1)所取两个数中一个作为底数,另一个作为真数
(2)所取两个数中一个作为底数,另一个作为指数
【答案】A
【知识点】排列组合的综合应用
【解析】
条件(1):根据条件可知,当取的数字有时,只可能放在真数位置,且结果只有一种;当取的数字没有时,其中所得数值一致,从而可确定此时所得可能数值有种。综述满足条件的情况数共有种,与结论一致,所以条件(1)充分;条件(2):根据条件可知,当取的数字有时:当放在底数位置时,结果只有一种,当放在指数位置时,结果共有种;当取的数字没有时,其中此时所得可能数值有种。综述满足条件的情况数共有种,与结论不一致,所以条件(2)不充分。故本题选择A。
※该题主要依据特殊元素进行分类讨论。
【例5】用1, 2, 3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻,这样的四位数的个数为(   ).
(A)   (B)   (C)   (D)    (E)
【答案】
【知识点】排列组合的综合应用
【解析】
根据题意可知,三个数字必有一个重复数字,即有种可能,要保证两个相同数字不相邻,则可利用插空法进行排序,即先排剩余两个数字,然后将相同数字插入产生的三个空隙中,从而可得种。故本题选择B。
※例5本质依旧特殊元素特殊考虑。
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