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浅析求极限方法之等价无穷小替换

发布日期：2021-10-29 16:11:16 来源：

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浅析求极限方法之等价无穷小替换
极限作为高等数学的理论基石，其计算在每年的考查中属于常考知识点，而其计算方法也是多种多样，其中等价无穷小替换这种方法在极限的化简中发挥着非常重要的作用。在此，中公考研数学教研团队将对等价无穷小替换这种方法进行具体的阐释，便于广大考生有更好地理解和掌握。
首先，回顾一下等价无穷小的概念，它指的是在某极限过程中，函数α,β都为无穷小量，并且都不为0。若=1,则称当时，α与β为等价无穷小量，记作αβ。
关于等价无穷小替换，定理如下：
设在时，αβ，则有=,
=。
这个定理有以下三点需要特别注意：
（1）等价无穷小替换在极限计算过程中一般起到辅助和简化的作用，它和洛必达法则连用可以简化计算。
（2）只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，作为加减项时不能替换。
（3）常见的等价无穷小：当时
,
接下来，通过两道例题来具体说明等价无穷小替换如何使用。
【例1】计算下列极限
（1）
分析：首先整个式子是乘除因子的形式，满足等价无穷小替换的条件；其次，时，ln(1+)，sin可以替换。但是需要注意的是，分母是sin2形式，当时，如果把2看做整体，则2，所以sin22
解，原式= =1
在常见的等价无穷下替换公式使用时，不局限于，若等八个公式依旧成立，同样地，若，则，等八个公式仍适用，由此可以得出，当把或者看做整体，这个整体趋近于零时，则等价无穷小替换公式仍成立，所以，我们得到推广后等价无穷小替换公式：
当时，
,
（2）
分析：整个式子是乘除因子的形式，满足等价无穷小替换的条件；
当时，,，所以分母，
分子，，即，
由得，
解：
=
=
通过以上两题，可以总结如下：（1）等价无穷小替换公式的使用前提是只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷下替换，作为加减项时不能替换。
（2）熟记常见的等价无穷小：当时
,
以及推广之后的当时，
,
最后，希望广大考生在接下来的时间能够再接再厉，如愿考上心仪学校。

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【责任编辑：樊孝阳】

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