2021考研管综初数强化备考：浅析初等变换与初等矩阵

该考点本身很重要，此外，又延伸出若干性质亦是重要考点，考生务必掌握：

初等变换：初等变换分为初等行变换与初等列变换两大类，其中初等行变换又分为以下三种类型：

（1）交换矩阵的任意两行；

（2）矩阵的某行乘以非零k倍；

（3）矩阵的某行乘以k倍加到另外一行。

矩阵的初等列变换三种类型同上，本文就不一一赘述。

重要考点：

（1）矩阵进行初等变换后不改变矩阵的秩。

（2）计算线性方程组需要对矩阵进行初等行变换。注：矩阵固然存在初等列变换，但是，在高斯消元法的过程当中，我们仅仅可以用初等行变换，否则，所计算方程组与原式不是同解方程组。

（3）求三阶以上的数值型矩阵的逆矩阵时，亦需要用到矩阵的初等行变换这一工具（仅为初等行变换）。

（4）求向量组的极大线性无关组时，需要对该向量组成的矩阵进行初等行变换（仅为初等行变换）。

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵。

重要考点：

（1）初等矩阵是可逆的，因此，一系列的初等矩阵也是可逆的，故一个矩阵可逆当且仅当该矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积。乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩。

（2）左行右列法则：矩阵左乘以初等矩阵就等于对矩阵进行一次初等行变换，矩阵右乘初等矩阵，就等于对该矩阵进行一次初等列变换，该定理简化了用矩阵乘法定义运算的过程。然而左行右列的定理为进行一次初等变换，相对简单，接下来，我们对该定理进行推广，若矩阵左乘可逆矩阵，就等于对该矩阵进行若干次初等行变换，同理，若矩阵右乘可逆矩阵，那么就相当于对该矩阵进行若干次的初等列变换。