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单调有界收敛原理及其应用

发布日期：2021-10-28 16:38:48 来源：

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极限计算是考研数学的一块内容，在极限的计算中，对于数列极限，有一种难度较大，得分率较低的求极限的方法---单调有界收敛原理，虽然较难，但是它的规律性很强。根据历年试题的规律，我们给大家总结出这类题的做题方法，希望能对大家有所帮助。
一、单调有界原理
单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为.
注：（1）什么时候用这个定理求极限？
当求的是数列极限，并且题中给出了极限的递推关系，这时候考虑用单调有界收敛定理求解该极限。
（2）怎么用这一定理进行证明？
首先，在草稿纸上求以下几个量
1）求极限。令，将这个极限带入递推关系中，得到关于的方程，进而求出。
2）判断单调性。
3）找到数列的界。若数列单调递增收敛到，说明数列上界是。
其次，在卷子上作答，作答的顺序如下：
1）先证有界性。通过数学归纳法证。
2）再证单调性。通过单调性的定义证。
具体的做题步骤，我们通过下面这个例子具体分析
二、应用
【例1】：设，，试求。
解析：（1）先在草稿纸上求以下几个量：
1）令，代入，有，解得或（舍，因为）
2）由前几项可判断出单调性：，代入递推关系有，，所以单调递增。
3）有界性。单调递增，逼近于，所以。
（2）卷子上作答：
1）有界性：即证明，有数学归纳法，已知，假设，可得，由数学归纳法，可得，证毕。
2）单调性：，所以单调递增。
3）综上，根据单调有界收敛定理有，数列是收敛的，令，代入，有，解得或（舍，因为），故。
【例2】：设，，试证数列的极限存在，并求此极限。
证明：
1）有界性：即证明，有数学归纳法，已知，假设，可得，由数学归纳法，可得，证毕。
2）单调性：
，所以单调递减。
综上，根据单调有界收敛定理有，数列是收敛的，令，代入，有，解得或（舍，因为），故。
注：1）根据递推公式求数列极限的基本思路：首先证明数列单调有界，从而得到该数列极限存在；然后在等式两边同时取极限，得到方程，解出极限值。
2）证明数列单调有界的主要方法：
①先求出极限值，从极限值与数列前几项的大小关系确定证明数列单调递增还是单调递减、有上界还是有下界，以及上界或下界各是多少；
②证明时，先证有界性，再证单调性；
③为了更好地运用递推公式，证明过程中一般会用到数学归纳法。
以上根据具体问题给大家展式了利用单调有界收敛定理证明数列极限的具体思路和步骤，希望对大家能够有所帮助。
最后，中公考研预祝同学们取得理想成绩。

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【责任编辑：樊孝阳】

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