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利用函数性质求解三角函数定积分

发布日期：2021-10-28 16:36:49 来源：

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三角函数定积分在考研过程中算是一个难点，考察方式比较综合，总的来说关于它的计算通常采用两种基本方法：一种是利用牛顿——莱布尼兹公式求原函数；另一种是采用一些特殊的解题技巧，不用求出原函数直接求出积分的值。三角函数由于其存在很多较为特殊的性质，例如：周期性，奇偶性等，通常可以利用到这些特殊的解题技巧。
1、利用函数的奇偶性和被积区域的对称性
针对称区间求积分，可以利用奇偶函数在对称区间上的积分的性质简化计算：
设在上可积，则有，对于三角函数来说，都具有奇偶性，故此性质尤其适用于三角函数。
例题：求定积分.
通过观察很容易看出，为奇函数，为偶函数，故
2、利用三角函数的周期性求定积分
当被积函数是一个周期函数时，将积分区间巧妙的分段，作必要的替换，可简化运算。而周期函数的积分以三角函数最为常见。
若在可积，且是以T为周期的函数则.
例题：计算，
由于是以为周期的函数，所以当n为奇数时为奇函数，故该积分值为0，当n为偶数时，为偶函数，因此，同时若n为偶数则是以为周期的函数，所以得出，再套用华莱士公式即可得出结果。
3、利用三角函数的一些特殊性质
三角函数有它特殊的性质：诱导公式如等，在实际计算中可以灵活地运用这些公式来简化定积分的计算。
例：
证明如下：
令
则移项即可得
其中，
令，带入上式得：即可得到：，证毕。
利用这一特点可以计算一些算不出原函数的积分
例题：计算.
由于可知被积函数即为的形式利用上面结论可得：
以上就是对利用函数性质求解三角函数定积分的分析讲解，相信大家能够对这个考试要点有一个比较清晰的认识。距离考研只有三个多月的时间了，希望大家继续努力，把握复习的最后关键阶段。最后，中公考研教研团队祝全体考生考上理想学校！

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