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2022年考研大纲中对多元函数微分学概念的考查

发布日期：2021-10-28 16:32:32 来源：

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在2022考研大纲中要求考生理解多元函数微分学的概念，学习时要和一元函数相应的概念进行对比学习；考察形式主要是小题，考查重点是可微性的判断及连续、可导、可微三者间的关系；难点是可微性的判断。
1、二元函数极限、连续、偏导数、全微分的定义
学习时注意与一元函数进行对比，找共同和区别的地方，区别的地方往往就是考试的重点或者学生的易错点
在学习时重点注意下面几点：
1)二重极限：
与一元函数相比，相似的地方在于：都表示自变量趋近于某个点时，函数值与某个实数无限接近
区别：二元函数极限存在所有路径极限都存在且相等；从而有，当两条路径极限不等或者极限值不确定时，极限不存在；这个一般可以用来证明极限不存在
2)连续的定义与一元函数基本相似，区别在于这里是二重极限
3)偏导数定义；基本思想是固定一个变量，此时偏导数和一元函数的导数没有本质区别
4)判断在一点是否可微即判断是否为0，
具体计算步骤如下：
1)计算该点的偏导数：
，；
2)计算：
3)计算极限；若极限为0，则在该点可微；否则，不可微。

2、连续、可导、可微三者间的关系
三者间的关系和一元函数对比记忆，熟练掌握并灵活应用：
①　一元函数三者间的关系：

连续

可导       可微

②　二元函数三者间的关系：

连续     （偏导数存在）

可微     偏导函数连续

定义

3、典型例题
【2007-2-4分】二元函数在点处可微的一个充分条件是（      ）
(A)
(B),且
(C)
(D),且
2007年数二试题考查三者间的关系。A选项说明在点连续，B选项说明在点偏导都存在，即可导；A、B两个选项都推不出可微；
本题的易错点在D选项，偏导函数连续是指成立，则首先要保证极限存在，即趋近于点的所有路径极限都存在且相等，但只是趋近于点的两条路径，故不能说明极限存在，从而得不到在点连续；同理也得不到在点连续；故推不出偏导函数连读，从而推不出可微；
C选项为本题的难点，研究在（0,0）处的可微性，将和分别写成和则有：，
即
，也即，可以推出在点可微。但反之，若在点可微不能推出成立，即C选项为充分非必要条件，故C选项正确。

这部分内容大纲要求相对比较简单，考生在学习时重点掌握以下两个方面：一是会判断多元函数可微性：；二是理解连续、偏导存在、可微三者之间的关系。

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【责任编辑：樊孝阳】

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