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二重积分中值定理使用攻略

发布日期：2021-10-28 14:51:14 来源：

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各位同学们好，今天我们就来说一说二重积分中值定理，这一部分是去年新增的内容，可能对于同学们来说不是足够熟悉，所以中公教研团队对其进行了梳理，供大家复习参考。
首先我们先说一下二重积分中值定理内容：若函数在闭区域D上连续，为D的面积，则（）D，使得.从几何意义的角度可以帮助我们理解，二重积分的本质是曲顶柱体体积的代数和，而相当于曲顶柱体的平均高度，代表的是长方体的体积。所以在区域D上我们会找到一个点使得曲顶柱体体积代数和与长方体体积相等。
那么具体它是如何应用的呢？它可以帮助我们解决极限的问题。比如我们来看这一道题：
例1：计算.
解：（法一）转化成极坐标
=
代入原式可得==0
但转化成极坐标这个方法需要进行积分的计算，有的积分不太容易计算，并且当被积函数是抽象函数时，又无法计算，所以法一不是最优选择。所以我们再看法二。
（法二）使用二重积分中值定理：被积函数连续，（）D，使得
==.
当时，
===0
所以通过对比我们发现二重积分中值定理省去了转化成极坐标以及积分计算的问题，相对而言让极限计算变得更加简单了。
但是二重积分中值定理在使用时也会有局限性，比如下面这个题目：
例2：设连续，且，，计算.
解：使用二重积分中值定理被积函数连续，（）D，使得.
当时，
==
，，所以原极限式为0比0型未定式，此时不可直接代入。所以二重积分中值定理对于此极限式失效，此题只能利用化为极坐标的形式进行计算。
所以上述两个例题我们发现，二重积分中值定理可以帮助我们解决极限计算的问题，但是不是所有情况都适用，若使用完之后为未定式，不可直接代入，只可转化成累次积分再计算极限。

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【责任编辑：樊孝阳】

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