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2022考研数学之线性代数重要知识点

发布日期：2021-10-28 14:48:31 来源：

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2021年考研数学大纲发生了很大的变化，这也印证了研究生考试5年一小变，10年一大变的特点。今天就从线性代数这门科目说说考试大纲发生了哪些变化，我们应该怎样应对。
其实线性代数这门科目是一门小学科，内容相对于高等数学本来就不多，大纲变化也不大。从结构上：从曾经的2选择1填空2解答改成了3选择1填空1解答，也就是小题多考一道，大题少考一道。整体从试卷结构上看是简单了一些。当然小题的分值增加了1分，从每题4分增加到每题5分，进一步缩小了数学这门科目小题和答题的差距，小题的计算量肯定会比以往要增加一些。从内容上：其中，数学一并没有变化，数学二和数学三在大纲中，2021年大纲相对于2020年大纲都只有将“会将矩阵化为相似对角矩阵”改成“掌握将矩阵化为相似对角矩阵”把一个“会”字改成了“掌握”，要求提高了。整体上看线性代数这门科目还是变化不大的。下面我们就从具体的2021年考试和之前年份的题目看一下变化：
2021年的小题中有一个题目比较新颖，难度也稍微大一些，就是数一数三的第7小题和数二的第9小题，虽然7题和9题是不同的两个题，但是都用到了一个共同的知识点去证明，那就是:“利用矩阵按行或者按列分块知识证明线性表出”，其中也有一个我们熟知的结论，A的列向量可以表出AB的列向量。这些知识点出题的形式比较新颖，不过考试的内容其实和往年没有大的变化，例如：2018年数学一，二，三也考察了类似的知识点，而且也是结合分块矩阵。所以，这种重点的知识点依然是重点，大家一定复习的时候要重点复习。
大题方面，2021年数学一，二，三倒是都应了今年大纲的新变化，统统考察了“矩阵的相似对角化”，不过难度倒是不大，尽管大纲对这块的要求提高了，不过这块的知识点本来就是重点，我们同学复习的时候本来就是必须掌握的，所以对于我们的复习来说并没有什么大的变化，依然需要好好掌握矩阵相似对角化这个基本技能。不过做一个预测，矩阵相似对角化这个地方很有可能结合二次型去考察，二次型这个知识点基本隔一年一出，2020年数一二三都考过，2021年没有考，很显然，2022年处二次型的几率非常大，并且二次型这个地方也可以考察矩阵的相似对角化，比如2020年数一，二，三的大题中都涉及到了这个知识点，并且难度要比2021年的大很多，所以同学们复习的时候，一定要重视二次型，这个地方今天也就是2022年几乎是需要掌握的知识点。
说到二次型，有必要再强调一个小知识点：“利用配方法把二次型标准化”，这个地方是我们复习的时候容易忽略的知识点，因为我们把二次型化成标准型，最常用的是正交变换法，这个方法刚好和前面一个章节“实对称矩阵”有联系。大家几乎都用正交变换法去标准化了，以往年份的考试也是这么考的。我们经常把配方法看成是一个可有可无是额外的方法，不是必须掌握的方法。这就是一个大的错误思维。注意：配方法是我们必须掌握的方法，而且无可替代，它有无可替代的好处。举两个例子：
1、在求有些正负惯性指数的问题的时候，矩阵自带一些参数，会导致特征值无法求出，这个时候最好的办法就是配方法，能避免求特征值，直接利用配方之后，平方项前面的系数的正负就可以求正负惯性指数。
2、2020年数一数二的大题需要把二次型规范化，这个地方如果用正交变换方法需要先标准化做一次换元（非退化的线性变换），再规范化做一次换元（非退化的线性变换），过程会非常麻烦，对于考试来说不太现实，时间不够用。这里如果用配方法，二次型就可以一步到位，直接化成想要的规范形，找到对应的一个换元（非退化的线性变换）就可以。所以，大家对配方法一定要掌握而不是可有可无的方法。
以上就是2022年考研对于线性代数科目需要着重复习的知识点。

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【责任编辑：樊孝阳】

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