2021年浙江海洋大学数学复试科目大纲及参考书

同等学力加试科目：

泛函分析

一、考查目标

泛函分析是数学专业的基础课。它形成于20世纪30年代，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。泛函分析可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析，是学习现代数学必不可少理论基础，为学习现代数学，特别是偏微分方程，概率论，计算数学等学科分支提供了强有力的研究方法。

二、试卷结构

1、题型结构

名词解释(30分)、简答题(30分)、证明题(40分)，共计100分。

4、 内容结构

度量空间和赋范线性空间(25%)、有界线性算子和连续线性泛函(15%)、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间(25%)、巴拿赫空间中的基本定理(20%)、线性算子的谱(15%)。

三、考试内容和要求

1、度量空间和赋范线性空间

度量空间定义及例子，度量空间中的极限、稠密集、可分空间，连续映射，完备度量空间，压缩映射原理及其应用，赋范线性空间和巴拿赫空间定义与例子。

2、有界线性算子和连续线性泛函

有界线性算子和连续线性泛函的定义与例子;有界线性算子空间和共轭空间的定义与例子。

3、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

内积空间的定义与例子，投影定理，希尔伯特空间中的规范正交系，希尔伯特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

4、巴拿赫空间中的基本定理

泛函延拓定理及其应用，C[a，b]的共轭空间，共轭算子，纲定理和一致有界性定理，强收敛、弱收敛和一致收敛的定义及例子，逆算子定理，闭图像定理

5、线性算子的谱

谱的概念及例子，有界线性算子谱的基本性质，紧集和全连续算子的谱，自伴全连续算子的谱论。

四、推荐书目：

1、程其襄，张奠宙，魏国强等编著，《实变函数与泛函分析基础，第三版》，高等教育出版社，2010.

2、汪林编著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.

近世代数

一、考查目标

近世代数是以研究代数结构的性质、构造与分类为中心的一门学科，是现代数学各个分支的基础学科之一。要求学生通过本课程的学习，掌握近世代数的基本概念与基本理论，主要包括群、环、域等基础理论，培养抽象思维的能力。考试目的主要考察学生对群、环、域这三类较为常见的代数结构的概念和及其性质的掌握程度，以及学生利用相关知识进行抽象思维的能力。

二、试卷结构

1、题型结构

计算题(约40%)，证明题(约60%)，共计100分

2、内容结构

群论(约40%)，环论(约40%)，域论(约20%)

三、考试内容及要求

1、群论

考试内容：关系、等价关系与划分的对应、群论的基本概念(包括子群、陪集、群同态、循环群、置换群、群的直积、群作用等)、性质及循环群的结构、群同态基本定理、拉格朗日定理、西罗定理、轨道稳定子公式等基本定理。

考试要求：了解集合、映射、关系以及等价类的概念;理解等价关系和划分的对应。理解群、子群、生成子群、群同构、循环群、置换群和对称群等概念，会证明两个群是否同构，熟练掌握循环群的性质、结构及分类，掌握置换的轮换分解定理，了解置换在对称变换群中的应用。掌握左右陪集的概念和性质，会用拉格朗日定理和指数公式，熟练掌握正规子群和商群的概念及性质，熟练掌握群同态的概念及同态定理，掌握群的内外直积的概念和性质，熟练掌握群作用的概念及轨道稳定子定理，了解伯恩塞德引理，熟练掌握西罗定理及其应用，会判断一个群是否单群。

2、环论

考试内容：环、子环、理想、零因子、整环、欧氏环、主理想整环等

考试要求：掌握环和子环的概念和性质，掌握左右零因子、无零因子环、整环、除环、除环、体、域的区别，熟练掌握理想、主理想、商环的概念，掌握环同态定理和环的扩张定理，掌握素理想和极大理想的区别和联系，掌握环的特征、素域的概念。了解多项式环，整环的商环的概念，掌握唯一分解整环的概念及其性质，掌握主理想整环和欧几里得整环的概念及其性质，了解各类整环的区别和联系。

3、 域论

考试内容：向量空间、子空间、域扩张(单扩张、有限扩张、代数扩张)、分裂域。

考试要求：掌握向量空间、子空间及空间维数的概念、掌握扩域、单扩张、有限扩张、及域论基本定理，掌握代数数、超越数、代数扩张、极小多项式、不可约多项式的概念，了解分裂域、完备域的概念及其性质，了解有限域的概念和性质。

四、推荐书目

韩士安、林磊. 近世代数(第二版). 北京：科学出版社, 2009