您所在的位置：四川中公考研 > 备考资料 > 考研数学 > 考研数学概率论与数理统计，概率你真的会计算吗？

考研数学概率论与数理统计，概率你真的会计算吗？

发布日期：2022-02-13 20:18:10 来源：四川中公考研

对于概率论与数理统计而言，概率的计算是整个学科的基础，所有随机变量分布相关的计算都是建立在此基础上。关于考研数学中概率的计算方法，类型较多，若要学好概率，系统的掌握概率的各种类型的计算方法十分重要，接下来我们将系统回顾概率计算的常见方法。
计算概率的基本方法包括概型求概率，利用概率的性质求概率，条件概率定义与性质求概率，利用独立性求概率，以及利用五大公式公式求概率等。
一、概型求概率
概型包括古典概型、几何概型、伯努利概型，利用概型进行求概率的题往往是结合实际应用的例题。
（一）古典概型
古典概型是指结果数有限，每种结果发生的概率相等，其概率的公式为随机事件总数（Na）除以样本空间总数（N），即，难点在于结果数的计算，会涉及到排列组合。
【例 1】从数 1,2,3,4 中有放回地任取两次，每次一个数，得两个数X1、X2，记X=min{ X1、X2}，则P{X=2}=         .
分析:该概型结果数有限，且等可能，故确定为古典概型，则根据古典概型计算概率的公式，只需要求事件的基本事件总数与任取两个数的样本空间总数相除即可得到所求概率。
解析：本题目中要求是有放回的从1，2，3，4中取两个数，总共的结果是16种，而事件为：取到的最小的数为2，由于有的区别，即有先后次序，则总共结果可列出来：2，2；2，3；3，2；2，4；4，2五种。则概率为。
小结：古典概型题目计算关键在于所求事件以及样本空间基本事件个数的计算，计算事件的个数时，注意区分有无放回，有无次序。
（二）几何概型
几何概型求概率的公式为随机事件的度量除以样本空间的度量，一维则是长度之比，二维是面积之比，三维是体积之比。一般考试以面积的计为主。
【例 2】在平面区域{（x，y）|x2+y2≤1}内随机地取一点，求该点到x轴的距离不超过的概率________.
分析：题目中在圆内随机取一点，基本事件的个数连续，无限，确定为几何概型。则根据几何概型计算概率的公式，只需要求事件的度量（面积）与任取一点的度量（总面积），其中事件为该点到轴的距离不超过，计算两面积之比即可得到所求概率。
解析：画图分解成一个扇形与三角形，各自面积分别为和，总面积为四倍即，再进行概率的计算得。
小结：几何概型往往是考查面积的计算，本题是通过简单的几何图像进行面积计算，更加复杂图像还可能考到定积分的计算。
（三）伯努利概型
伯努利概型求概率的公式为，它表示的是重伯努利试验中成功次的概率。这里使用的关键在于伯努利概型的识别，所谓伯努利试验即为独立重复试验，满足两个条件：一是每次试验成功的概率是不变的（重复），二是各个试验之间是相互独立的（独立）。
【例3】连续抛掷一枚硬币，求第 k 次正面恰好在第n次出现的概率.
分析：题目中提到连续抛硬币次，是为次伯努利试验，选择伯努利概型进行计算。但是伯努利概型对次发生的次的发生次序不能有任何要求，而题目中指定了第次刚好是正面，故不能直接使用伯努利概型求概率。再分析题目因为指定了第次刚好是正面，但是剩下的次发生次是没有指定的，可以选择伯努利概型进行计算。
解析：前n-1次中刚好有k-1次正面，，还要保证第是正面，故还需要乘以即。
小结：除了对伯努利试验的识别以外，使用伯努利概型基本公式的另一个关键点在于要确保对成功的试验的位置不能有任何要求。
二、利用概率的性质求概率
根据概率的性质，能对概率的计算进行简化，其中性质使用比较多的有互斥的事件的概率，可直接使用可列可加性直接相加，逆事件的概率计算，正面不好计算的时候就利用反面进行计算。
三、利用条件概率公式与独立性
对于条件概率：一方面计算条件概率要用到的基本公式，另外一方面根据条件概率公式我们也能进行化简获得条件，比如说乘法公式就是根据条件概率的公式得到的。
对于独立性：若已知独立，则也可以依据公式，对概率计算进行化简，同时在验证独立性时，我们也需要借助概率的计算来进行。
四、依据五大公式进行概率的计算
前三个公式加法公式，减法公式，乘法公式，只需要记住几个公式，会代入公式即可，使用难点在于事件关系的识别与事件运算的化简。
例如，求事件至少有一个不发生的概率，要认识到，这是求至少有一个发生的概率，可以对运用加法公式。
对于全概率公式与贝叶斯公式的考查更加偏向于应用，尤其是全概率公式，当题目中出现需要分情况进行讨论的时候，就需要选择全概率公式进行计算，全概率公式的关键是要能理解性的记忆全概率公式，每种情况的概率乘以对应的每种情况下发生的概率求和。
【例 4】已知事件A、B仅发生一个的概率为0.3 ， P(A)+P(B)+0.7,则A、B至少有一个发生的概率为          .
分析：要计算A、B至少有一个发生的概率，即要计算的概率为，根据题目条件，采用公式计算即可。
解析：首先解读条件仅一个发生的概率为0.3，即，另外题目中条件为为，题要计算的概率则为，首先将题目的条件利用减法公式化简，可得到，再将计算的代入得。
【例 5】从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X , 再从 1…X 中任取一个数，记为 Y , 则P{Y=2}=           .
分析：题中先抽一个，再从结果中抽，抽到的结果与的取值有关，故需要分类讨论，则确定题目需要考虑全概率公式进行计算。
解析：全概率公式分类讨论要完整，本题先的可能取值为1，2，3，4，依据全概率公式，
，代入进行计算得.
小结：（1）出现随机事件需要分类讨论时，选择全概率公式进行计算；（2）要正确理解全概率公式，全概率公式为每种分类情况的概率乘以对应情况下事件发生的概率相加，重点在于分类讨论要完整
五、依据分布函数与概率密度函数求概率
若题中已知是随机变量的分布，则概率的计算可利用分布函数与概率密度函数求概率的公式。
1、已知分布函数求概率，重点必须理解含等号与不含等号的区别：
2、已知概率密度函数求概率，只需要记住“哪儿求概率，哪儿积分”，具体表现形式：
一维：
二维：。
总的来说，同学们在拿到概率的计算问题时，先识别知识点，再根据相关知识点的要求代入相应的公式，总的来说有一下五种基本思路：1、借助简单概型（古典、几何、伯努利）2、借助基本性质（可加性、对立事件的概率）3、借助条件概率与独立性4、借助五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯）5、借助随机变量的分布（分布函数、概率密度）。此外，还有借助已知分布求概率，本质上也是上述方法推导而来的，这部分内容记忆为主，我们后续章节再进一步给大家介绍。

考研实用工具推荐
1、考研院校专业匹配查询系统
2、近4年全国各在招院校专业复试分数线查询
3、历年调剂信息查询
4、历年各院校专业目录查询
5、历年各院校报录比查询
6、历年各院校参考书目录查询

免责声明：本站所提供的内容均来源于网友提供或网络搜集，由本站编辑整理，仅供个人研究、交流学习使用，不涉及商业盈利目的。如涉及版权问题，请联系本站管理员予以更改或删除。

【责任编辑：公众号：sckaoyan365】

上一篇：平面图形的面积—参数方程

下一篇： 2023考研数学大纲考研数学难度分析解读

10秒智能择校

查看历年试题

热点推荐

备考福利站

公共课
|专业课

课程系列	班次名称	价格	免费开通
考研政治网络课堂	2026政治考研备考指导课	39	免费开通
考研政治网络课堂	考研政治五年试题精讲	199	免费开通
考研英语网络课堂	2026考研英语备考指导课	39	免费开通
考研英语网络课堂	考研英语（一、二）五年试题精讲	199	免费开通
考研数学网络课堂	2026考研数学备考指导课	39	免费开通
	考研数学五年试题精讲	199	免费开通
	考研数学常用公式整理	39	免费开通
23专业课精品课	311教育学考研入门课	11	免费开通
	333教育综合考研入门课	11	免费开通
	法律硕士（非法学）考研入门课	11	更多课程

课程系列	班次名称	价格	免费开通
经济学精品班	金融学考研入门课	咨询	免费开通
教育学精品班	经济学（初级）考研入门课	19	免费开通
教育学精品班	经济学（中级）考研入门课	19	免费开通
法学精品班	法律硕士（非法学）考研入门课	19	免费开通
法学精品班	13大热门专业课备考抢学包	19	免费开通
管理学精品班	管理学考研入门课	19	免费开通
管理学精品班	社会工作考研入门课	19	免费开通