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浅析拉格朗日中值定理的应用

发布日期：2021-10-31 10:19:40 来源：

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浅析拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理是微分中值定理中最重要的定理之一，是考研数学中证明题的重点题型，是沟通函数与导数之间的桥梁。在高等数学中应用拉格朗日中值定理可以求极限、证明不等式、恒等式、判断函数单调性以及级数的敛散性，那我们今天就将多种应用一一进行解析。
1、用拉格朗日中值定理求极限
例1：设，求
分析：看到和的信息，应立即反应到拉格朗日中值定理，建立起函数与导数之间的关系。
解：因为，即当充分大时，在上由拉格朗日中值定理得
=，，令，有
2、用拉格朗日中值定理证明不等式
我们知道在拉格朗日中值定理公式中，无论具体是多少，根据之间的取值就可以估计出的取值范围，或者说估计出取值的上下界，分别用取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的就可以得到不等式。
例2：设，证明不等式.
证明：令，.由拉格朗日中值定理得存在一点，使得，又因为，所以，即，证毕。
3、用拉格朗日中值定理证明恒等式
例3：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，有，则存在，使。
证明：因为函数，所以构造辅助函数；显然函数在上连续，在内可导，于是根据拉格朗日中值定理得存在一点，使得。又因为，，所以，因此，证毕。
4、用拉格朗日中值定理判断级数敛散性
例4：证明：调和级数是发散的。
证明：构造辅助函数为，可知在区间上符合拉格朗日中值定理条件，则存在一点，使得，可得，，，，将上式左右两边各相加得，又因为，所以，，即调和级数是发散的。
5、用拉格朗日中值定理判断函数的单调性
例5：证明：在上单调增加。
证明：令，则要证原命题成立只需证明单调增加即可。对求导可得：，对函数在区间，上运用拉格朗日中值定理得存在一点，使得，代入上式可得：，因此由推出单调增加。从而在上单调增加。
以上就是拉格朗日中值定理的应用技巧，首先需要理解拉格朗日中值定理最基本的定理内容、条件以及结论，多总结方法，从题目中总结内容规律，达到游刃有余的效果。
最后，中公考研预祝同学们取得理想成绩！

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【责任编辑：樊孝阳】

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