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秩为1矩阵在线性代数问题中的应用

发布日期：2021-10-28 16:46:18 来源：

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在线性代数的学习中，我们经常会遇到秩为1的矩阵，而秩为1的矩阵作为一种特殊矩阵，其性质对于求解线性代数的一些问题具有非常重要的作用，在考研数学中多次涉及，比如1998年、2003年、2004年、2014年等等，因此，下面就其性质及应用问题展开相关讨论：
一、秩为1矩阵相关性质：
1、设矩阵为阶矩阵，若，则，可判断为矩阵的特征值。根据特征值与特征向量性质（矩阵的特征值的重数大于等于其所对应的线性无关的特征向量的个数），的重数，也就是说，矩阵的个特征值中，至少有个，又可根据特征值的性质，可知还有一个特征值为。因此阶矩阵的个特征值为（重），。
2、阶矩阵的特征值为0对应的特征向量，也即齐次线性方程组的非零解，只需将进行初等行变换化为行最简形，找到主元，对自由变量赋值即可；
下面重点分析一下阶矩阵的特征值为对应的特征向量：
若，则不是零矩阵且矩阵中各行各列成比例，也即可表示为（和均为维非零列向量）。对做如下运算：，故根据特征值和特征向量的定义可知的特征值为所对应的一个线性无关的特征向量为，也即矩阵的第一列可作为的特征值为所对应的一个线性无关的特征向量。
二、秩为1矩阵有关应用：
在以上性质的基础上，我们通过历年试题对相关性质进行实际应用，比如2004年关于特征值以及特征向量的求解问题：
【2004-3】设阶矩阵，求的特征值和特征向量。
当时，，的特征值为（重），任意维非零列向量均是的特征向量；
当时，，令，则。由于，所以的特征值是（重）、，从而的特征值是（重），。根据特征值和特征向量的性质，
的特征值对应的特征向量即为的特征值为对应的特征向量，因此将进行初等行变换可化为，解得特征向量为，其中为不全为0的任意常数；
的特征值对应的特征向量即为的特征值为对应的特征向量，也即特征向量为，为任意非零常数。
同样地，在2004年数一的试题中也有类似的用法：
【2004-1】设有齐次线性方程组，，试问为何值时，方程组有非零解，并求出其通解。
记方程组的系数矩阵为，由于方程组有非零解，故，即，
，解得或，所以当或时，方程组有非零解。
当时，，故方程组的解为，其中为任意常数；时，的非零解即求解矩阵的特征值为所对应的特征向量，记，则，故的特征值为所对应的特征向量也即的特征值为所对应的特征向量，而为矩阵的，故所求特征向量为，为任意非零常数，所以方程组的通解为，为任意常数。
通过以上历年试题，可以进一步感知到秩为1矩阵的特殊性质对于求解线性代数问题的重要性，因此，掌握秩为1矩阵的相关性质，将其与其他知识点有机结合，会成为考生获得理想分数的关键因素之一。

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【责任编辑：樊孝阳】

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